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  Ingo Rechenberg

Zur 7. Vorlesung Bionik I:  Die 7 Denkschritte der Bionik

  Wer die Duftfühler eines Seidenspinners als Vorbild für eine Fernsehantenne propagiert, wer von der Gestalt eines Pantoffeltierchen auf die optimale Form eines Unterseebootes schließt oder wer eine Mohnkapsel zum idealen Salzstreuer erklärt, der hat die Denkweise der Bionik nicht verstanden. Die Evolution kann nur dann für den Ingenieur sinnvolle Vorarbeit geleistet haben, wenn sie an derselben Funktion unter denselben Randbedingungen nach demselben Gütekriterium gearbeitet hat. Wer eine biologische Leistung bewundert und daraus technischen Nutzen ziehen möchte sollte die 7 Denkschritte der Bionik (rechts) befragen. Wer bei "stopp" landet sollte Acht geben. Möglicherweise ist die biologisch-technische Analogie unsinnig.   

     
 

Pseudo-Bionik:

Die Antenne eines Seidenspinnermännchens und die Antenne des Fernsehempfängers sehen ähnlich aus. Doch der Zweck beider Konstruktionen ist grundverschieden. Die Antenne des Seidenspinnermännchens ist ein Messgerät, das noch einzelne Moleküle des weiblichen Sexuallockstoffs Bombykol detektieren kann. Eine Fernsehantenne soll demgegenüber elektromagnetische Felder empfangen. Es gilt Fb ≠ Ft!

        

     
 

Pseudo-Bionik:

Pantoffeltierchen und Unterseeboot sollen sich beide unter dem Wasser bewegen. Ähnliche Funktion ist also gegeben. Doch für das Pantoffeltierchen ist Reibung die bestimmende Kraft. Das als Reynoldszahl bezeichnete Verhältnis von Trägheitskraft zu Reibungskraft ist 0,001.  Die Reibungskräfte sind somit 1000-mal größer als die Trägheitskräfte (z. B. die Zentrifugalkräfte auf ein Strömungsteilchen). Beim Unterseeboot ist es umgekehrt. Hier sind die Trägheitskräfte mindestens 1000000-mal größer als die Reibungskräfte. So herrscht in beiden Fällen eine völlig andere Strömungsphysik. Es gilt Rb ≠ Rt!

         

     
 

Pseudo-Bionik:

Der Biotechnik-Pionier Raoul Heinrich Francé bemängelte das ungleichmäßiges Streuen des handelsüblichen Salzfässchens. Er entwarf und patentierte einen Salzstreuer nach dem Vorbild der Mohnkapsel. Sein Fehler: Funktion und Randbedingung mögen zwar übereinstimmen. Doch das Gütekriterium der Evolution ist für eine Mohnkapsel ein anderes als das Gütekriterium für einen Salzstreuer. In der Biologie gilt es, die Mohnkörnchen möglichst weit weg von der Mutterpflanze zu streuen. Ein Francéscher Salzstreuer auf einem Dinner würde die Brote der Nachbarn und nicht die eigenen salzen. Es gilt Gb ≠ Gt!

     
 
 

 
 

Ingo Rechenberg

Zur 6. Vorlesung Bionik I: Evolution aerodynamischer Tricks am Vogelflügel 

 

Ein umströmter Flügel erzeugt auf seiner Oberseite Sog und an seiner Unterseite Druck. Es kommt (beim Rechteckflügel besonders deutlich) zu einer Druck-Sog Randumströmung am Flügelende. Die Auftriebsentstehung lässt sich dann physikalisch auch so deuten: Es sind die zwei Wirbel am Ende eines Flügels, die hinter dem Flügel einen Abwind erzeugen, auf dem sich der Flügel abstützt.

Eine Zuspitzung des Flügels ändert die Situation nicht grundsätzlich. Die Wirbel verteilen sich lediglich in Längsrichtung.

  

     
  Die Randwirbel erzeugen den induzierten Widerstand Wi. Ludwig Prandtl konnte für den elliptischen Flügelumriss (mit über der Spannweite konstantem Abwind) für Wi eine Formel ableiten (rechts). Die Formel gilt auch mit guter Näherung für den Rechteckflügel.

     
  Was lässt sich machen, um den induzierten Widerstand zu minimieren ohne dabei den Auftrieb zu verringern? Nachfolgend zwei Denkmodelle. Wir schneiden den Tragflügel in Längsrichtung auseinander und fügen die Teile neu zusammen. Der Gesamtauftrieb ändert sich durch diese Operation nicht. Wir können die Flügelschnitte nun anders positionieren.

    

     
  Im Denkmodell 1 fügen wir die Flügelschnitte in Richtung der Spannweite wieder aneinander. Durch die Verdoppelung der Spannweite b wird der induzierte Widerstand geviertelt. Das ist die Lösung hochgezüchteter Segelflugzeuge. Extrem schmale Flügel, die ihre Fläche in der Spannweite unterbringen, garantieren einen sehr geringen induzierten Widerstand.

     
 

Im Denkmodell 2 ordnen wir die Flügelschnitte übereinander an. Jeder Flügel besitzt durch den halbierten Auftrieb nur noch ein Viertel des induzierten Widerstands. Beide Flügel zusammen haben nunmehr in der gestaffelten Konfiguration ihren induzierten Widerstand halbiert.

Das ist die Lösung des Doppeldeckers. Damit die Flügel sich nicht gegenseitig beeinflussen (z. B. den  Auftrieb wegnehmen), müssen sie allerdings hinreichend weit auseinander positioniert werden. Diese Bedingung haben die klassischen Doppeldecker nicht erfüllt.

         

     
  Vögel, deren Lebensraum der grenzenlose Luftraum über der See ist, haben die Lösung der hohen Flügelstreckung verwirklicht. Paradebeispiel für diese optimale Lösung der Evolution ist der Albatros. Er gilt als der aerodynamisch am besten "durchgestylte" Flieger der Natur. Der Albatros kann durch seine hohe aerodynamische Güte ohne Flügelschlag über dem Meer fliegen. Die notwendige Energie bezieht er aus dem Scherprofil des Windes über der Meeresoberfläche. Der Albatros beherrscht die Kunst des dynamischen Segelfluges.

 

Vögel, die auf dem Lande zwischen Felsen, Bäumen und sonstigen Hindernissen  manövrieren müssen, haben das gespreizte Flügelende entwickelt. Da sie überall anstoßen können, verbietet sich die Lösung der hohen Spannweite. Die gestaffelten Flügelfinger lassen sich als Ansätze zu einem Doppel- bzw. Vielfachdecker deuten. In Flügelmitte behält der Vogel den Eindecker bei. Erst am Flügelende, wo sich die Randwirbel bilden, wird zum Mehrdecker "übergeblendet".

Die Winglets (Flügelohren) an den heutigen modernen Flugzeugen muss der Bioniker als Vorstufe des Vogel-Spreizflügels ansehen.

 
 

 
 

Ingo Rechenberg

Zur 5. Vorlesung Bionik I:  Evolution und mathematische Optimierung (Teil II)

  Auf einem extrasolaren Planeten leben die metallenen Ein-Beinlinge. Ihr kreiszylindrisches Bein besteht aus Magnesium, dem leichtesten Metall, ihr kugeliger Kopf aus Osmium, dem schwersten Metall. Die Evolution hat alle Größenarten entwickelt, angefangen vom 20 m hohen Riesenbeinling bis hin zum nur 30 cm messenden Zwergbeinling. Das Problem: Der schwere Kopf muss vom Bein getragen werden. Das eherne Gesetz der Evolution besagt, dass kein Material verschwendet werden darf. Der Beindurchmesser wird so weit reduziert, dass Knicken nach dem Euler Fall 2 gerade vermieden wird (gegebenenfalls mit einem Sicherheitsfaktor).

     
  Wie sieht die Optimalstruktur der Beinlinge aus, wenn sich der Kopfdurchmesser der verschiedenen Spezies stets proportional mit der Halslänge ändert? Der optimale Beindurchmesser lässt sich berechnen (rechts). Statt des Durchmessers bestimmen wir das Beinvolumen. Es ergibt sich, dass das Beinvolumen überproportional (mit der Potenz 7/6) mit dem Kopfvolumen zunimmt. Unter der Annahme, dass die Evolution auf dem extrasolaren Planeten so gut funktioniert wie auf der Erde, sollten die Beinlinge sich so optimal entwickelt haben.

     
 

Wir kommen auf die Erde zurück. Hier gibt es zwar keine Ein-Beinlinge, aber es gibt Wirbeltiere mit immer gleichem Grundbauplan des Knochengerüsts. Und auch hier dürfte Knickung der ausschlaggebende Belastungsfall sein.

Biologen haben schon längst die überproportionale Zunahme des Skelettgewichts mit dem Gesamtgewicht von Erd-Wirbeltieren beschrieben und als Allometriegesetz bezeichnet. In dem "berühmten" Maus-Elefanten-Diagramm rechts wurde das Skelettgewicht verschiedener Wirbeltierspezies über das Lastgewicht (= Gesamtgewicht − Skelettgewicht) aufgetragen. Es ergibt sich mit erstaunlicher Genauigkeit das mathematisch postulierte 7/6-Potenzgesetz.

     
  Isometrie (ισος = gleich) heißt, dass sich die Maße einer Form bei einer Maßstabsänderung in gleicher Weise ändern. Der von Biologen geprägte Begriff der Allometrie (αλλοιος = anders) soll ausdrücken, dass sich die Abmessungen einer Form bei einer Größenänderung verzerren, d.h. sich anders als im gleichen Maß ändern. Der von Bionikern geprägte Begriff Beltistometrie (βελτιστος = bester) stellt heraus, dass sich die Abmessungen einer Form so ändern, dass ein Optimalprinzip erfüllt bleibt. Beltistometrie beweist hier das Optimierungsgeschehen in der biologischen Evolution.

                                   

 
 

 
 

Ingo Rechenberg

Zur 4. Vorlesung Bionik I:  Evolution und mathematische Optimierung (Teil I)

 

 

 

 

Physiologen haben das  Blutgefäßsystem eines 13 kg schweren Hundes vermessen. Rechts die Durchmesser D und die Zahl z der Blutgefäße der vermessenen Gefäßklassen:

 

Aorta D = 10 mm z = 1
Große Arterien D = 3 mm z = 40
Arterienäste D = 1 mm z = 600
Arterienzweige D = 0,6 mm z = 1 800
Arteriolen D = 0,02 mm z = 40 000 000
Kapillaren D = 0,008 mm z = 1 200 000 000

Aus Schmidt/Thews, Physiologie des Menschen (1976)

 

 

 
  Trägt man die Messwerte in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf, ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg -1/3. Die Geometrie der Blutgefäßverzweigung wird mit einer Genauigkeit von ±5% durch das Gesetz

beschrieben (rote Gerade).

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  Der Schritt in die Mathematik. Es gilt, die Energiekosten der Rohrverzweigung zu minimieren. Wir betrachten das Rohrelement i: Energie kostet einmal die Druckdifferenz Δpi, die notwendig ist, um den Mengenstrom Qi durch das Rohrstückchen i zu treiben. Δpi bestimmt sich aus dem Hagen-Poiseuilleschen-Gesetz. Energie kostet zum anderen das Volumen des Rohres i (Wartungskosten). Für Blutgefäße sind es die Bluterneuerungskosten, die proportional mit dem Gefäßvolumen Vi anwachsen.

     
Wir setzen beide Energiekosten additiv zusammen. Der Kostenfaktor k gibt den zu zahlenden Energiepreis pro Kubikmeter und pro Sekunde neu zu bildender Blutkörperchen an. Wir addieren die zwei Energieanteile für alle Rohrstückchen i zur Funktion F zusammen.

     
  Die Funktion F soll ein Minimum annehmen. Gesucht sind die Durchmesser Di. Nach den Schulregeln der Extremwertfindung ist dazu das Nullsetzen der ersten Ableitung notwendig:

     
  Wir normieren alle Di mit D0. Das Ergebnis: Der optimale Durchmesser eines Rohrstückchens i ist nicht von der Strömungsvorgeschichte abhängig, sondern bestimmt sich allein aus dem individuellen Mengenstrom Qi.  

     
  Für die Kapillaren ist klar. Die Evolution wird den Mengenstrom gleichmäßig auf diese Endgefäße aufteilen. Es gilt Qi=Q0/z! Und man muss sich schon sehr exotische Mengenaufteilungen in der Verzweigungsstruktur vorstellen, wenn für alle Gefäßklassen gleichen Durchmessers Di nicht Qi=Q0/z gilt.  –   Der Beweis ist erbracht: Die Evolution hat mathematikgleich optimiert!

 

 

Ingo Rechenberg

Zur 3. Vorlesung Bionik I:  Vom Vogelflügel zur Konzentrator-Windturbine

 

Ein Kupferdraht, der von einem Strom I durchflossen wird, erzeugt um sich herum ein Magnetfeld der Stärke H. Eine Wirbelschlange, die sich mit der Intensität (Zirkulation) Γ dreht, erzeugt nach eben derselben Gleichung ein Geschwindigkeitsfeld v. Die Gleichung heißt das Gesetz von Biot und Savart.

Wird der Kupferdraht (a) zu einer Spule gewunden konzentriert sich das Magnetfeld H. Genau so gilt: Wird eine Wirbelschlange (b) zu einer Spule gewunden verstärkt sich das Strömungsfeld v. Die Spulengleichungen rechts geben die konzentrierten Feldgrößen H und v an (für die Windungszahl w auf der Länge l ).

   

     
  Aber wie lässt sich ein so luftiges Gebilde wie eine Wirbelschlange zu einer Spule wickeln?  Die Antwort: Durch einen vogelähnlich aufgespreizten Flügel. Die Wirbel entstehen durch die Umströmung der Schwungfeder-Enden, an denen durch Auftrieb oben Sog und unten Druck herrscht. Schon zwei Wirbel  würden durch ihr Drehfeld den Nachbarn zur Rotation anstoßen. An den 4 Flügelfingern des gezeigten Vogels werden 4 Wirbelchen erzeugt, die sich stromab umeinander winden. Die schraubenförmigen Wirbel lassen sich als in die Länge gezogene Ringwirbel deuten, die Strömung durch ihr Inneres pumpen.

     
 

Der Spreizflügel als Strömungsbeschleuniger lässt sich technisch noch verbessern. Die wirbelerzeugenden Flügelfinger werden zu einem vollen Kreis aufgefächert. Im "Auge" des Flügelsterns entsteht eine besonders hohe Strömungsgeschwindigkeit v.

Wind zu verstärken ehe er eine Turbine antreibt ist Wunsch der Windkraftingenieure. Der vom Laien oft vorgeschlagene Windtrichter ist wirkungslos. Erst der Wirbelspulen-Verstärker ermöglicht den Bau eines wirkungsvollen Strömungskonzentrators.  BERWIAN (Berliner Windkraft Anlage heißt die biologisch inspirierte Konzentrator-Windturbine.

 

 
 

 
 

Ingo Rechenberg

Zur 2. Vorlesung Bionik I:  Die n  kontra √¯n  Beziehung   -  Mathematischer Beleg der Bionik

  Optimieren heißt - geometrisch veranschaulicht - einen Berg zum Gipfel beklettern. Als Fortschritt eines Kletterabschnitts werde der zurückgelegte Weg, projiziert auf die Richtung des steilsten Anstiegs, gewertet. Der Fortschritt dividiert durch die Zeitkosten (Zahl der Versuchsschritte) ergibt die Klettergeschwindigkeit φ.

     
 

Berglandschaften lassen sich approximativ durch geneigte Ebenen-Elemente zusammensetzen. Ein Mathematiker, der ein Ebenenelement optimal besteigen möchte, bewegt sich in Richtung des steilsten Anstiegs. Diese so genannte Gradienten-Richtung errechnet sich aus den Neigungen des Ebenenelements in die x- und y-Richtung. Die Neigungen ergeben sich aus drei Höhenmessungen. In n Dimensionen bestimmen n+1 Messungen die Neigung der Hyperebene. Es ergibt sich die rechts dargestellte Fortschrittsformel (zu δ siehe unten).

   

 

 

Die Evolutionsstrategie verzichtet auf den größtmöglichen Fortschritt in Richtung des Gradienten. Sie baut auf die Tatsache, dass auf dem Ebenenstückchen im Mittel jeder zweite Zufallschritt auf der Erfolgsseite liegt, wenn die Mutationen auf einem Kreis um den Elter streuen. Der resultierende Fortschritt ist der Linienschwerpunkt der Halbkreislinie, der wegen der Hälfte Misserfolge durch 2 geteilt werden muss. Für n Dimensionen ergibt sich mit Hilfe der Guldinschen Regel die rechte Formel.

   
 
 
 

Die Strecke δ (Schrittweite genannt) folgt aus der begrenzten Abmessung eines Ebenenelements. Jenseits von δ ist die Wölbung der Bergfläche nicht mehr vernachlässigbar.  In der Theorie wird zusätzlich angenommen, dass ein Ebenenstückchen jenseits von δ eine deutlich andere Richtung aufweist (komplexes Problemgebirge). Der Fall, dass die Ebenenelemente in ihrer Richtung nur schwach korrelieren ist gegeben, wenn der Berg durch Störungen einer holprige Oberfläche erhält. Das ist in der biologischen Evolutíon zu erwarten.

 
 

 
 

Ingo Rechenberg

Zur 1. Vorlesung Bionik I:  Leistungsfähigkeit der Evolutionsmethode

 

Albrecht Dürer stellt in seinem Kupferstich "Melancholie" im Hintergrund ein Magisches Quadrat dar. Die Zahlen von 1 bis 16 sind so angeordnet, dass allseits die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme 34 entsteht. Es gelingt Dürer zugleich, in der unteren Zeile der Zahlenmatrix das Entstehungsjahr seiner Arbeit, nämlich 1514, zu offenbaren.

     
 

Wir wollen Albrecht Dürer nacheifern. In einem Magischen Quadrat soll das Jahr 2002 sichtbar werden. Die Zahl 2002 soll sich durch die Ziffern 2 und 0 mosaikartig markieren. Die Forderung an ein echtes Magisches Quadrat, dass jede Zahl nur einmal auftritt, muss aufgegeben werden. Das unechte Magische Quadrat soll als Erschwernis allseits die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme von 2002 aufweisen. Die gewählte Größe von 21x21 Feldern steht für das 21ste Jahrhundert.

Rechts ist ein solches Magisches Quadrat dargestellt. Es wurde mit einer geschachtelten Evolutionsstrategie, der höchsten mathematischen Nachahmungsstufe der biologischen Evolution, entwickelt.

     
  Künstliche Evolution auf dem Computer erfordert die Auslese nach einer quantifizierbaren Qualität. Die Qualität des Magischen Quadrats wird aus den Fehlerquadraten der Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen gebildet. Rechts ist die Qualitätsfunktion eines 3x3 Quadrats mit den Variablen n 1 bis n 9 und der magischen Soll-Summe 15 dargestellt.