Version 1.0 , March 2006
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,
)-Evolutionsstrategie
/,)-Evolutionsstrategie
Version 2, June 1991
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51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301, USA
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Preamble
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Each version is given a distinguishing version number. If the Program specifies a version number of this License which applies to it and “any later version”, you have the option of following the terms and conditions either of that version or of any later version published by the Free Software Foundation. If the Program does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published by the Free Software Foundation.
No Warranty
End of Terms and Conditions
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To do so, attach the following notices to the program. It is safest to attach them to the start of each source file to most effectively convey the exclusion of warranty; and each file should have at least the “copyright” line and a pointer to where the full notice is found.
one line to give the program’s name and a brief idea of what it does.
Copyright (C) yyyy name of author
This program is free software; you can redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU General Public License as published by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later version.
This program is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU General Public License for more details.
You should have received a copy of the GNU General Public License along with this program; if not, write to the Free Software Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301, USA.
Also add information on how to contact you by electronic and paper mail.
If the program is interactive, make it output a short notice like this when it starts in an interactive mode:
Gnomovision version 69, Copyright (C) yyyy name of author
Gnomovision comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY; for details type ‘show w’.
This is free software, and you are welcome to redistribute it under certain conditions; type
‘show c’ for details.
The hypothetical commands show w and show c should show the appropriate parts of the General Public License. Of course, the commands you use may be called something other than show w and show c; they could even be mouse-clicks or menu items--whatever suits your program.
You should also get your employer (if you work as a programmer) or your school, if any, to sign a “copyright disclaimer” for the program, if necessary. Here is a sample; alter the names:
Yoyodyne, Inc., hereby disclaims all copyright interest in the program
‘Gnomovision’ (which makes passes at compilers) written by James Hacker.
signature of Ty Coon, 1 April 1989
Ty Coon, President of Vice
This General Public License does not permit incorporating your program into proprietary programs. If your program is a subroutine library, you may consider it more useful to permit linking proprietary applications with the library. If this is what you want to do, use the GNU Library General Public License instead of this License.
Als Ingenieur steht man häufig vor dem Problem an einen Satz gemessener Datenpunkte eine
Modellfunktion anpassen zu müssen. Solange diese linear ist, führen mathematisch analytische
Methoden schnell ans Ziel. Das Prinzip beruht darauf ein Minimalwertproblem zu lösen.
Hierzu wird eine Fehlerfunktion (Summe der Fehlerquadrate) definiert, in die die
Modellfunktion eingesetzt wird. Bei linearen Funktionen führt diese Vorgehensweise
letztendlich dazu ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Sind die Daten jedoch nur mit einer
nichtlinearen Funktion anzupassen, kann das genannte Minimierungsproblem nur iterativ
angenähert werden. Die klassische Mathematik schlägt dafür lokal deterministische Methoden,
wie z.B. die Gradientenstrategie vor. Das hier beschriebene Excel-Addin hingegen verwendet
zur Lösung dieser Aufgabe die Evolutionsstrategie. Der Vorteil liegt darin, dass der Fortschritt
der Evolutionsstrategie bei hoher Anzahl der Problemdimensionen schneller vonstatten geht
als bei der Gradientenstrategie. Je komplizierter also die Modellfunktion ist, desto
empfehlenswerter ist es die Evolutionsstrategie zu verwenden.
Das vorliegende Excel-Addin ermöglicht es auf einfache Art und Weise eine Modellfunktionen
für einen bestimmten Datensatz mit oben beschriebener Methode anzupassen. Mit Hilfe der
grafischen Funktionen von Excel kann auf diese Weise schnell überprüft werden, ob der
gewählte Ansatz die Daten hinreichend genau annähert. This addin may be distributed
under the terms of General Public License (Seite 7: Terms and Conditions For
Copying, Distribution and Modification).
Die Vorliegende Anleitung gliedert sich in drei Teile. Im ersten Abschnitt wird auf die
Theorie der Evoultionsstrategie(ES) eingegangen. Es wird die allgemeine Vorgehensweise einer
einfachen Strategie dargelegt, sowie die grundlegenden Strategieparameter erläutert. Weiterhin
wird kurz auf die Funktionsweise, der im Programm verwendeten höheren ES eigegangen.
Dieser Abschnitt enthält keine wichtigen Informationen um das Addin in seiner
Grundfunktionalität zu bedienen. Wer also nur schnell ein vorliegendes Problem lösen will,
kann diese Seiten ruhig überblättern. Sie dienen lediglich dazu dem Leser einen
groben Überblick zu verschaffen nach welchen Algorithmen das Programm prinzipiell
arbeitet.
Der zweite Abschnitt befasst sich mit der genauen Bedienung des Addins. Anhand eines Beispiels wird ausführlich erläutert wie das Addin zu verwenden ist um einen gegebenen Datensatz zu ,,fitten”. Weiterhin werden alle möglichen Einstelloptionen erklärt. Dieses Kapitel ist an diejenigen gerichtet, die praktisch schnell ein Problem lösen wollen aber nicht viel Erfahrung im Umgang mit Excel Makrofunktionen und/oder der Evolutionsstrategie haben.
Für alle, die es besonders eilig haben, gibt der letzte Teil nochmal eine Anleitung zur Bedienung in absoluter Kurzform. Wer sich mit Excel und der Evolutionsstrategie auskennt, wird hier am schnellsten zum Ziel gelangen.
Die Evolutionsstrategie ist eine numerische Optimierungsmethode die nach dem
Vorbild der biologischen Evolution aufgebaut ist. Diese arbeitet allgemein nach dem
Darwinschen Prinzip, nach dem nur die Besten überleben: Das bedeutet genauer
gesagt, dass nur diejenigen Individuen einer Population überleben, die sich in der
vorliegenden natürlichen Umgebung am besten behaupten können. Nur diese Individuen
übertragen ihr Erbmaterial auf die Folgegeneration, womit über den Lauf der Jahre gute
Erbeigenschaften akkumuliert werden, während schlechte sozusagen ,,aussterben”. Dieser sehr
einfache Grundalgorithmus der Evolution lässt sich recht einfach auf die Technik
übertragen. Wichtig ist dabei zunächst eine Qualitätsfunktion zu definieren, die es
erlaubt die Individuen untereinander zu vergleichen, um letztendlich eine Aussage
darüber machen zu können welches sich in der vorgegebenen Umgebung am besten
behauptet. Diese Qualitätsfunktion hängt natürlich davon ab, welches Ziel man mit
der Optimierung erreichen will. Die einzelnen Individuen besitzen, genau wie in
der Natur, gewisse Erbmerkmale, in diesem Fall durch Variablen dargestellt, die
unterschiedlich ausgeprägt sein können. Diese Ausprägung ist durch den konkreten Wert der
jeweiligen Variable gegeben. Ein Individuum wird mathematisch also durch einen Vektor
dargestellt. Je mehr Eigenschaften es besitzt, desto höher ist die Dimension des
Vektors.
Die einfachste denkbare Strategie ist eine so genannte (1,)-ES. Bei dieser Vorgehensweise
wird zunächst ein Elter erzeugt. Das bedeutet, dass jedes Merkmal für den Anfang zufällig
bestimmt wird. Dieser Elter setzt Kinder in die Welt. Mathematisch bedeutet dies, dass
jedes Kind wie folgt aus dem Eltervektor berechnet wird:
 | (1) |
ist ein Vektor, dessen Einträge (0,1)-Normalverteilte Zufallszahlen sind. Diese
Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt die natürliche Mutation am Besten: geringe
Abweichungen treten grundsätzlich häufiger auf als starke. 
ist ein Skalar und stellt die
Schrittweite dar. Sie konditioniert im Prinzip die Mutation auf das vorliegende Problem, gibt
also an wie stark die Merkmale der Kinder im Mittel von denen des Elters abweichen. Sind alle
Nachkommen erzeugt worden, wird mit Hilfe der Qualitätsfunktion der beste Nachkomme
bestimmt. Diese Bestimmung kann im Computer durch direkte Auswertung einer Funktion
erfolgen. Sie kann aber auch dadurch gemacht werden, dass jedes Individuum technisch in
irgendeiner Art realisiert wird, einem Experiment unterzogen und der Ausgang dieses
Experiments wiederum in eine Qualitätsfunktion eingerechnet wird. Die Definition der
Qualität ist letztendlich ausschlaggebend. Ist der beste Nachkomme der ersten Generation
bestimmt worden, wird er als Elter der nächsten Generation gesetzt. Die Schritte wiederholen
sich dann solange bis kein Fortschritt mehr stattfindet und der Lauf abgebrochen
wird.
Es sei hier erwähnt, dass dies nur die absoluten Grundzüge der Theorie sind. Für das sichere Funktionieren der Strategie ist noch mindestens eine Steuerung der Schrittweite (z.B. durch ,,mutative Schrittweitenregelung”) notwendig, auf die hier nicht weiter eingegangen wird. Interessierten Lesern wird weiterführende Literatur [1] empfohlen.
,)-EvolutionsstrategieDie (,)-ES unterscheidet sich nicht sehr stark von der (1,)-ES. Wie zu erwarten ist,
arbeitet erstere Strategie nicht mit einem, sondern mit Eltern. Um einen Nachkommen zu
bestimmen, wird zufällig (gleichwahrscheinlich) einer der Eltern ausgewählt und wie im
vorigen Abschnitt beschrieben mutiert. Nachdem alle Kinder erzeugt wurden, werden die
besten Kinder zu den Eltern der nächsten Generation.
Vorteile hat die (,)-ES gegenüber der (1,)-ES hauptsächlich in sogenannten
,,verrauschten Qualitätsgebirgen”, in denen die Bewertung der Qualität eines Individuums
einer gewissen Streuung unterworfen ist (siehe [1] S.190-191). Solche Vorraussetzungen sind
jedoch bei reinen Computerexperimenten, wie sie das vorliegende Programm durchführt,
gewöhnlicher Weise nicht gegeben.
/,)-EvolutionsstrategieEine (/,)-ES bezieht die Wirkung der sexuellen Fortpflanzung auf die Evolution in ihren
Algorithmus mit ein. Wie bei der vorher erklärten Strategie erzeugen Eltern Kinder. Die
Mechanismen, die hierbei angewendet werden unterscheiden sich jedoch grundsätzlich
voneinander. Anstatt einen Elter zufällig zur Mutation auszuwählen, werden die einzelnen
Erbmerkmale aller Eltern arithmetisch gemittelt. Es entsteht damit ein sogenannter
Elternschwerpunkt, der nun wiederum wie bereits bekannt mal mutiert wird um die
einzelnen unterschiedliche Kinder zu erhalten.
Die Bezeichnung des beschriebenen Vorgangs wird in der Evolutionsstrategie ,,Kontinuums -
Rekombination” genannt (siehe [1] S.139-140). Andere Merkmalsvermischungen wie die
diskrete Rekombination, werden hier nicht weiter betrachtet. Die Vorteile von rekombinativen
Strategien kommen ebenfalls besonders deutlich in verrauschten Qualitätsgebirgen zu tragen.
Sie haben noch zusätzlich den Vorteil bei großer Variablenzahl wesentlich höhere
Fortschrittsgeschwindigkeiten als eine (/,)-ES zu besitzen.
Der Algorithmus, der in dem vorliegenden Programm implementiert ist, wird als Kovarianz -
Matrix - Adaption bezeichnet verhält sich aber im Prinzip wie eine (/,)-ES. Das Wirken
einer CMA-ES bezieht sich nämlich prinzipiell nur auf die Mutationsverteilung der
Nachkommen. Die Mutation eines Elternvektors wird in einer gewöhnlichen ES mathematisch
laut Formel 1 beschrieben. Eine derartige Erzeugung der Nachkommenvektoren im
hochdimensionalen Raum führt dazu, dass diese im Mittel auf der Schale einer Hyperkugel,
deren Mittelpunkt der Elter bildet, angeordnet werden. Die Schrittweite beschreibt dabei
den Radius dieser Hyperkugel.
Betrachtet man Abbildung 2, wird klar dass es durchaus sinnvoll sein kann die
Mutationsverteilung entsprechend der Qualitätslandschaft anzupassen.
Die Infomrationen, die hierfür benötigt werden zieht die CMA-ES aus den selektierten
Nachkommen der letzten Generationen. Gestartet wird beispielsweise von einer kreisrunden
Mutationsverteilung. Ist der Elternschwerpunkt der laufenden Generation bestimmt, wird die
Verteilung in seine Richtung etwas gestreckt. Da weiter zurückliegende Generationen
vernünftiger Weise einen geringeren Beitrag zur aktuellen Mutationsverteilung haben sollten,
werden die Schwerpunkte je länger sie von der aktuellen Generation zurückliegen
abgeschwächt gewichtet. Auf diese Weise passt sich die Verteilung der Nachkommen immer der
lokalen Form des Qualitätsgebirges an.
Die beschriebene Vorgehensweise erklärt zwar den Mechanismus der Anpassung sehr gut, ist
aber nicht ratsam genau so zu implementieren. Jeder während der Evolution erzeugte
Elternschwerpunkt müsste gespeichert werden, wodurch der Speicherplatzbedarf
exponentiell mit der Anzahl der Generationen g ansteigen würde. Stattdessen wird die
Mutationsverteilung durch Anpassung ihrer Kovarianzmatrix mit Hilfe sogenannter
Evolutionspfade angepasst. Der Speicherplatzbedarf des Algorithmus beschränkt sich somit
auf O(n2).
Dieser Abschnitt teilt sich in drei Unterabschnitte auf. Als erstes sollen die Basiseinstellungen beschrieben werden die für die Durchführung einer jeden Berechnung zwingend notwendig sind. Anschliessend werden die erweiterten Einstellungen vorgestellt die es einem ermöglichen die Parameter der verwendeten ES selber einzustellen. Zu guter Letzt erfolgt eine Vorstellung der Schnittstelle des Addins um eine Implementierung in eigenen Quellcode zu vereinfachen.
Die Einstellung die auf jeden Fall erfolgen muss um das Addin benutzen zu können ist die
Anpassung der Sicherheitseinstellungen von Excel. Hierzu muss das Untermenü Extras 
Makro 
Sicherheit aufgerufen werden (Abb. 3).
Es erscheint dann ein Fenster in dem die Einstellungsstufe auf Mittel gestellt werden muss. Ist
die Stufe „Mittel“ gewählt, muss man nach dem Öffnen des Makros einmal bestätigen,
dass man das Makro wirklich ausführen will. Bei der Einstellung „Niedrig“ entfällt
diese Abfrage. Excel führt dann allerdings auch ungefragt JEDES Makro aus. Es
ist ausserdem möglich den ES-Optimizer Standardmässig beim Start von Excel
mitzuladen. Dazu muss man im Untermenü Extras 
Add-Ins den escma.xla Makro
eintragen.
Sind diese Voreinstellungen erfolgt, kann man den Sheet mit den Messdaten öffnen. In dieser Anleitung soll die Erklärung des Makros anhand eines Beispiels durchgeführt werden. Man öffnet also seine Messdaten in Excel oder gibt sie in einen leeren Sheet ein. Anschließend erstellt man ein Diagramm aus den Daten um einen optischen Eindruck des Funktionsverlaufes zu bekommen. Abbildung 4 zeigt eine Beispieltabelle, in der diese Arbeitsschritte bereits durchgeführt wurden.
Der Funktionsgraph erinnert an die Gaußsche Fehlerfunktion, weshalb diese im weiteren Verlauf als Modellfunktion verwendet werden soll. Die Gaußsche Fehlerfunktion ist definiert als:
und , die jetzt dahingehend angepasst werden sollen, dass die
Funktion bei den gegebenen X-Werten möglichst die gleichen Y-Werte produziert, wie sie
durch die Messwerte gegeben sind. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der
Erwartungswert genannt, während die Streuung angibt. Theoretisch könnte jede beliebige
Modellfunktion an die Messwerte angepasst werden. Welche Funktion sinnvoller Weise gewählt
werden sollte, liegt im Ermessen des Benutzers.
und mit Hilfe des Makros anzupassen, muss jetzt die Funktion auf die durch die
Messdaten vorliegenden X-Werte angewendet werden. Dazu definiert man zunächst zwei
Zellen, die für die beiden Koeffizienten stehen und trägt zwei beliebige Startwerte ein.
Anschließend trägt man in die Zelle neben dem ersten Messwert die Gaussfunktion ein,
wobei die Parameter und als feste Zellbezüge angegeben werden, während der
entsprechende X-Wert als relativer Zellbezug angegeben wird. In Zelle C2 steht also
letztendlich:
=((WURZEL(2*PI())*$F$3)^(-1))*EXP(-((A3-$G$3)^2)/(2*($F$3)^2))
|
Die bis dahin erstellte Tabelle ist in Abbildung 5 zu sehen.
Die Zelle C2 kann nun kopiert werden, so dass neben jedem Y1-Messwert ein mit Hilfe der Modellfunktion berechneter Y2-Wert steht. In die Grafik wird eine weitere Datenreihe (X,Y2) hinzugefügt. Es muss nun noch eine Qualitätsfunktion erstellt werden damit die Evolutionsstrategie funktionieren kann. Dazu wird für jedes Messwert/Näherungswert - Paar das Quadrat der Abweichung berechnet. Anders ausgedrückt wird für jeden Messwert der vorzeichenfreie Fehler err = (Y 1 - Y 2)2 gebildet. Abschließend werden alle diese Fehler zu einem Gesamtfehler aufsummiert. Die fertige Tabelle ist in Abbildung 6 zu sehen.
Man hat nun alle notwendigen Vorbereitungen getroffen damit die Anpassung der
Koeffizienten durch die Evolutionsstrategie mit Hilfe des Makros erfolgen kann. Dazu wählt
man im Menü den Punkt Extras 
ES-Optimizer worauf sich ein Dialogfenster öffnet (siehe
Abb. 7) in dem man die Basiseinstellungen vornehmen muss.
Wie man an der Abbildung schon erkennen kann, ist der ES-Optimizer aktuell nur für
Minimierungsprobleme ausgelegt. Die erforderlichen Einträge für die zwei vorhandenen
Eingabefelder werden im Folgenden erklärt.
) und G2 ().
Sind diese Einstellungen erfolgt, wird die Berechnung durch Anklicken des Start-Buttons gestartet. Nach erfogreicher Berechnung wird die Anzahl der Iterationen oder in evolutionsstrategischer Sprache die Anzahl der Generationen angezeigt und die neuen angepassten Koeffizienten eingetragen. Durch die grafische Darstellung lässt sich jetzt schnell erkennen ob die Messwerte von der neuen errechneten Kurve gut nachgebildet werden oder nicht. Im vorliegenden Beispiel (Abb.8) sind die Messwerte und die Aproximierungskurve fast Deckungsgleich.
Klickt man auf das Bedienfeld ,,Options” so erhält man die Möglichkeit erweiterte
Einstellungen vorzunehmen die hier im Detail erklärt werden sollen.
Es werden 2 Registerkarten (,,Stopping Criteria” und ,,Generation Properties”) angezeigt die
die erweiterten Einstellung beinhalten.
2) nicht
exakt erreicht. Die Stopfitness gibt in diesem Fall die Abweichung vom
optimalen Wert an, die der Benutzer als ausreichend klein ansieht, und somit
die Optimierung abgebrochen werden kann.
Der implementierte Algorithmus arbeitet prinzipiell nach einer (/,) -
Evolutionsstrategie. Das heißt, es werden in jeder Generation Kinder erzeugt, von
denen die besten ausgewählt werden. Die Eigenschaften dieser Elter, werden
rekombiniert, so dass ein ,,Elterschwerpunkt” entsteht, von dem aus die neuen Kinder
durch Mutation erzeugt werden.
Das Add-In escma.xla besitzt ein Modul, welches dem Benutzer ermöglicht den Algorithmus bequem direkt von anderen Makros aufzurufen. Das Modul hat den Namen „SubroutineWithoutDialog“ und stellt zwei Subroutinen zur Verfügung. Beide sollten zweckmäßiger Weise mit benannten Parametern aufgerufen werden, die selbsterklärend sind wenn man mit der Bedienung des Makros vertraut ist. Es folgen die Namen der Makros, mit den Namen der jeweiligen Parameter. Die Klammern hinter den Paramternamen geben an, ob das Argument optional ist. Wird ein optionales Argument nicht explizit angegeben, verwendet das Add-in den entsprechenden Standardwert:
Um auf die Subroutinen von einem anderen Projekt aus Zugriff zu haben, muss man zunächst
einen Verweis auf das Addin machen (Extras 
Verweise).
Aufgabe ist es an gegebene Messwerte ein Modellfunktion anzupassen. Die Beispielmesswerte in dieser Kurzanleitung sind dieselben wie aus Abbildung 4. Die Kurve ähnelt der Gaussfunktion, weshalb diese als Modellfunktion gewählt wird. Nachdem alle Arbeitsschritte, die zur Verwendung des Makros notwendig sind durchgeführt wurden, sieht die Exceltabelle wie in Abbildung 11 aus. Die Kurzanleitung referenziert im folgenden die eingezeichneten Punkte aus dieser Abbildung. Es wird davon ausgegangen, dass die Messwerte noch nicht eingegeben sind und das Makro nicht fest als Addin installiert ist.
ES-Optimizer anwählen
[1] Rechenberg, Ingo: Evolutionsstrategie ’94, Stuttgart, Frommann-Holzboog, 1994
[2] Hansen, Nikolaus: Verallgemeinerte individuelle Schrittweitenregelung in der Evolutionsstrategie : eine Untersuchung zur entstochastisierten, koordinatensystemunabhängigen Adaptation der Mutationsverteilung, Mensch & Buch Verlag 1998
